vpp非均匀切分任务
1.寻找num_micro_batches具体是外部什么参数
num_micro_batches为：
在PipelinePass类中的def _task_1f1b(self):中定义的self._program.pipeline_opt
也就是梯度累加的步数，其实就是micro_batches的数目
2.当前源码参考
2.1 当前的限制条件
发现vpp代码中含有acc_step和pp_degree是否整除关系的检查
这里的整除式：
$$
accumulate_steps\ \% \ num_stages == 0
$$
表明了一个观点，因为accumulate_steps和num_stages均是大于0的数，因此当前的限制为accumulate_steps必须为num_stages的整数倍，因此为了加入非均匀vpp，我们需要弱化此处的强约束条件，改为以下条件：
$$
accumulate_steps \geq num_stages
$$
而分析整除式，可以发现，原来的整除式子，也包含了accumulate_steps和num_stages满足以上关系，但是此时，无需让acc_steps为pp_degree的整数倍，因此我们将条件做到了弱化处理。
2.2 代码优化部分
分析发现，在整除关系下，这里无需判断两者相等的情况，else对应的公式均适用于所有倍数的情况，下面会给出证明。
3.均匀vpp排列分析
为了编排非均匀vpp，我们首先要观察一下均匀vpp的排列方式
3.1 各阶段Step分析
3.1.1 accumulate_steps % num_stages且 accumulate_steps ！= num_stages
这里我们选择num_stages为4，而accumulate_steps为4，hidden_layer为8，vpp_degree（num_model_chunks）为2进行分析：
因为vpp是基于1F1B的编排，因此我们同样可以用相同的规律把中间的稳定阶段先选择出来，即1F1B的阶段，我没有按照论文里的图来画，但也遵循了排列规则，并且将其画成了对称的形式，这样可以更直观的感受（也为了后面做aadiff_check做准备），可以看到，具体情况如上面的黄色框图所示，能够发现此时对于每一个GPU来说，编排仍然是呈现对称关系，例如GPU1就是左边10个forward，右边10个forward，中间是几组1F1B，那么根据规律我们可以发现，每个设备对应的编排公式如下：
- 计算
warmup_steps的初始值：
$$ \text{warmup_steps} = (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) + (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) $$
2.更新 warmup_steps：
$$
\text{warmup_steps} += (\text{num_model_chunks} - 1) \times \text{num_stages}
$$
3.计算steady_steps:
$$
total_num_steps =accumulate_steps * num_model_chunks
$$
$$ steady_steps = total_num_steps - warm_up_steps $$
第3个式子很好理解，由前面知道关系accumulate_steps>=num_stages，梯度累加的步数accumulate_steps就为micro_bitch的数量，对于一个设备来说，要经历的step数（forward和backward看为一个step）为micro_bitch的数量*该设备上模型的层数（因为每个micro_bitch一定会经过这些层），所以得到total_num_steps公式如上，而除掉warm_up阶段和尾部的cool_down阶段相对应的f_b个数，剩下的就是在stable阶段进行的f_b个数，所以得到steady_steps的公式。
那么我们详细来分析一下，1、2两个式子的含义：
首先，我们需要先分析一下，什么时候能开始我们的stable阶段，也就是稳定的1F1B阶段，我们可以直接看下面这个图：
我们将模型分成了2个大块，并且，每个大块分为了4个小块，第一个大块的4个小块分别放在GPU1-4上，第二个大块的4个小块紧接着放在GPU1-4上，不难发现，我们的一个micro_batch执行的顺序是从GPU1->GUP4再返回到GPU1，再依次执行到GPU4，那么可以发现，我们最早能执行backward的时间在第一个micro_bitch执行了8层的forward之后，即对应上图中的蓝色箭头的位置，此时可以看到我们的第一个micro_bitch已经执行了8个forward，因此可以开始执行backward了，所以stable阶段的启动时间就是此刻。
那么我们可以看到，第一个出现的1F1B就是蓝色箭头左边的forward和蓝色箭头右边的backward，而执行这对1F1B之前，GPU4还需要执行1，2，3，4 micro_batch在该设备第一个块中的forward，原因是，第一个micro_batch执行完了第一个大块的4个小块的forward因此又要从GPU1-GPU4执行第二个大块的4个小块的forward，因此此时为了让设备不空闲，在等待第一个micro_batch执行的同时，我们同时执行了第2，3，4个micro_batch在GPU4上第一个块的forward，再加上第一个micro_batch的第一块的forward，在1F1B共执行了4个forward。
那么我们分析一下，这个forward的个数与什么有关？
由上述原理可知，我们除了GPU4处理的第一个micro_batch的forward，我们是在等待第一个micro_batch再次到达GPU4时处理了其它的micro_batch，因此，该forward个数为(1+pp_dgree-1)*(num_model_chunks-1),这里的num_model_chunks-1也很容易理解，如果模型被分为n大块，那么第一个micro_batch就只能在第n次达到最后一个GPU时，才能开始执行backward，所以前面一定执行了（n-1）轮的（1+pp_dgree-1），又因为最后一个设备执行了
(1+pp_dgree-1)*(num_model_chunks-1)个forward，那么一定每个设备都执行了(1+pp_dgree-1)*(num_model_chunks-1)个forward，所以我们能推出，每个设备在进入stable阶段之前，至少一定有(1+pp_dgree-1)*(num_model_chunks-1)个forwad，这就是公式2中我们所加的(num_model_chunks-1)*num_stages。
解释完了公式2，我们再来看看公式1的两个(num_stages - stage_id - 1)是如何产生的呢？
首先第一个(num_stages - stage_id - 1)为什么会出现，我们要考虑到，在流水并行刚刚启动的时候，GPU1会先处理第一个micro_batch，然而，可以发现GPU2-GPU4此时是完全空闲的状态，因此，说明GPU1比其它设备要多处理一个micro_batch，其它设备以此类推，因此对于最后一个gpu来说，第一个设备GPU1比它多处理的forward个数为（pp_degree-(pp_stage+1)）,pp_stage从0号开始，也就是我们公式中出现的(num_stages - stage_id - 1)，第二、三个设备同样满足该公式，因此每个设备多处理的forward个数为(num_stages - stage_id - 1)，可以看到最后一个设备该数值是0，因为它比任何设备执行都慢，因此不会比其它设备多执行forward。
其次是第二个(num_stages - stage_id - 1)为什么会出现，我们考虑到，GPU4最先进入1F1B，而第一个backward从最后一个设备到达第一个设备的时钟周期个数为（pp_degree-(pp_stage+1)）,从最后一个设别到达第二、三个设别的时钟周期也满足这个式子，而在这第一个执行的backward到达之前，设备没办法执行backward，那么它们就无法进入1F1B的状态，因此仍然处于warmup阶段执行对应个数的forward，直到第一个backward到达才进入stable阶段，因此每个设备在进入stable阶段之前就会再多执行(num_stages - stage_id - 1)个forward。可以看到最后一个设备该数值是0，因为它立刻执行backward不会等待，因此没有多执行的forward。
所以我们将每个设备在进入stable阶段执行的forward加起来，就是warmup_steps的个数，即(num_stages - stage_id - 1)+(num_stages - stage_id - 1)+(num_model_chunks-1)*num_stages得到最终的公式——公式1，公式2。
3.1.2 accumulate_steps == num_stages
接下来我们分析两个数相同时，上述式子是否成立，这里我们为了数据多样化，我们选择num_stages为3，而accumulate_steps为3，hidden_layer为9，vpp_degree（num_model_chunks）为3进行分析：
可以看到，图中GPU1没有1F1B阶段，GPU2有一对1F1B，GPU3有3对1F1B，我们同样用以下三个式子做分析：
- 计算
warmup_steps的初始值：
$$ \text{warmup_steps} = (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) + (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) $$
2.更新 warmup_steps：
$$
\text{warmup_steps} += (\text{num_model_chunks} - 1) \times \text{num_stages}
$$
3.计算steady_steps:
$$
total_num_steps = accumulate_steps * num_model_chunks
$$
$$ steady_steps = total_num_steps - warmup_steps $$
我们从GPU3开始带入，得到如下结果：
- $$ \text{warmup_steps} =(3-2-1)+(3-2-1)=0 $$
- $$ \text{warmup_steps} = 0 + (\text{3} - 1) \times \text{3}=6 $$
- $$ total_num_steps = 3*3 = 9 $$
$$ steady_steps = 9-6=3 $$
我们可以看到，跟结果是一样的，我们带入GPU2的数值，同样符合，但是我们再带入GPU1的数值：
- $$ \text{warmup_steps} =(3-0-1)+(3-0-1)=4 $$
- $$ \text{warmup_steps} = 4 + (\text{3} - 1) \times \text{3}=10 $$
- $$ total_num_steps = 3*3 = 9 $$
$$ steady_steps = 9-10=-1 $$
我们观察上图可以发现，此时warmup_steps并不为10，而且steady_steps也成了负数，那么是什么原因造成的呢，我们分析如下：
首先，由公式2的由来可是，每个设备都满足，所以有6个step是一定没问题的，那么问题就出现在公式1上面，我们前面分析知道，公式1的产生有两点：
- 设备号小的设备放置的模型层号也较小，因此要优先处理
micro_batch，因此在num_micro_batches>=pp_degree时，条件1产生的step一定成立 - 又由于反向传播从设备号最大的设备开始，而此时设备号低的设备为了让设备空闲可以继续处理后续的
micro_batches，但此时就需要注意一个问题，如果num_micro_batches没那么大，即满足如下关系式：
$$ \text{num_micro_batches} \times \text{num_model_chunks} < (\text{num_model_chunks} - 1) \times \text{num_stages} + (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) + (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) $$
我们知道在我们规定的条件下，上式右边的第1、2项一定满足，而第三项就会因为设备号低的设备还没等到第一个backward，已经处理完所有的micro_batch的forward了，条件2式子（即第三项加数不成立)
那么此时的warmup_steps我们也可以轻易地看出来，其实就是total_num_steps，因此为了保证公式的一致性，我们只需要多加一个条件即可，第三个公式如下：
4.修正warmup_steps:
$$
\text{warmup_steps} = \min(\text{warmup_steps}, \text{total_num_steps})
$$
这样这4个式子就清晰地展现了均匀vpp各阶段的step数。
3.2 对于单个设备的编号编排分析
基于各阶段step的分析，我们继续分析可以发现，我们仅看某一个设备，则它对于每个设备上计算不同层的micro_batch编号的排列遵循以下公式：
forward排列，其中micro_step的范围为(0，acc_step *num_model_chunks )：
$$
\text{virtual_pp_stage} = \text{micro_step} \mod ( \text{num_stages} \times \text{num_model_chunks} )
$$
$$ \text{virtual_pp_stage} = \left\lfloor \frac{\text{virtual_pp_stage}}{\text{num_stages}} \right\rfloor $$
将vpp_stage带入计算得到对应的实际步数
def _record_fwd_micro_step(self, virtual_pp_stage):
real_micro_step = self._forward_micro_step_counter[virtual_pp_stage]
self._forward_micro_step_counter[virtual_pp_stage] += 1
return real_micro_step
因为backward与forward刚好相反，因此其vpp_stage要再加上下面这个公式：
$$
\text{virtual_pp_stage} = \text{num_model_chunks} - \text{virtual_pp_stage} - 1
$$
从上面我们也可以看到，其实确定最终real_micro_step ，即所编排forward任务的实际ID，主要是对vpp_stage的编排,因此我们重点分析vpp_stage公式是怎么来的,首先我们要明确一点的是，论文的编排思想是——（因为forward和backward具有对称性，因此我们只看forward）对某个设备来说，每编排pp_degree个就切换到模型下一层，其实这样非常符合我们的流水并行的特点，我们可以再来看一眼下面这个图：
因为经过pp_degree个时钟周期后，我们第i次输入进去的micro_batch就可以进行第i+1层的forward，所以排列是按照每pp_degree个就切换到模型下一层进行排列的，又因为，总模型块数为：num_model_chunks*pp_degree，即一个micro_batch走完每一块模型（即后面提到的一轮）要走这么多step，所以用当前的micro_step对其求余数，可以知道当前micro_batch处于这一轮的第几个位置，再用得到的相对位置，对pp_degree做整除运算向下取整，即可得到当前的micro_step属于的模型大块块号（即在哪一大块上执行），从0开始记录，每记录一个就会将对应数值+1，最终得到图示的编排效果（图示从1开始记录）。
4.非均匀vpp排列分析
我们现在将条件修改为accumulate_steps>=num_stages而不在让其为倍数关系，并进行分析
4.1 第一种情况：
这里我们选择num_stages为4，而accumulate_steps为9，hidden_layer为8，vpp_degree（num_model_chunks）为2进行分析
排列1：（论文方法排列）：
4.1.1 各阶段Step分析
我们首先分析，以下4个式子是否满足各阶段stpe的编排：
- 计算
warmup_steps的初始值：
$$ \text{warmup_steps} = (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) + (\text{num_stages} - \text{stage_id} - 1) $$
2.更新 warmup_steps：
$$
\text{warmup_steps} += (\text{num_model_chunks} - 1) \times \text{num_stages}
$$
3.计算steady_steps:
$$
total_num_steps = accumulate_steps * num_model_chunks
$$
$$ steady_steps = total_num_steps - warmup_steps $$
4.修正warmup_steps:
$$
\text{warmup_steps} = \min(\text{warmup_steps}, \text{total_num_steps})
$$
分析可知，同样成立，例如：GPU1的warmup_steps计算出来为3+3+4=10，则steady_steps为9*2-10=8,由图可知符合。因此可知，以这4个式子对于warm_up和stable的step个数，对于均匀与非均匀vpp的编排都是成立的。
4.1.2 各阶段单个设备的编号编排分析
其次我们分析编号编排，是否同样满足之前的公式：
$$ \text{virtual_pp_stage} = \text{micro_step} \mod ( \text{num_stages} \times \text{num_model_chunks} ) $$
$$ \text{virtual_pp_stage} = \left\lfloor \frac{\text{virtual_pp_stage}}{\text{num_stages}} \right\rfloor $$
这里我首先给出结论，公式不再满足，需要做变动，其实我们通过公式的来历即可知道，如果继续按照上式求解，那么就会出现，最终余数部分，通过上式计算后，第一步得到的结果，小于pp_dgree的均设置为第0块，大于等于pp_dgree，小于pp_dgree*2的均设置为第1块。然而我们分析一个具体的例子。
上图可以看到，forward总步数为2*9=18，也就是9个micro分别在GPU1中的两块模型中进行forward，前16步计算的实际vpp_stage没问题，但是第17，18步即micro_step为16，17若按上式计算（step从0开始），则最终的vpp_stage 均为0，也就是最后的两步均为在模型第0块执行的forward，而看图可知，显然不对，应该是一个在第0块，一个在第1块。
因此我们提出以下改进：
remainder = accumulate_steps % num_stages
virtual_pp_stage = micro_step % (num_stages * num_model_chunks)
if micro_step <= (accumulate_steps // num_stages)*(num_stages * num_model_chunks):
virtual_pp_stage = virtual_pp_stage // num_stages
else:
virtual_pp_stage = virtual_pp_stage // remainder
if not forward:
virtual_pp_stage = num_model_chunks - virtual_pp_stage - 1
return virtual_pp_stage
我们分析知道了，造成错误的原因是余数部分，因此我们将余数单独处理，即else部分，令remainder为acc_step mod pp_degree，可以看到此时多出来的几个step其实就是以remainder为基，以num_model_chunks为倍数进行扩张的数据集，而这个扩张后的数据集以remainder为基，被分别分到每个chunk中，因此这里对remainder进行整除预算即可。
4.1.3 性能分析
原论文的排版，按照每pp_dgree个micro_batch转换一次模型块，而当有余数的时候，例如图中第9个micro_batch，就会在其它micro_batch两轮前向结束了，才进行forward，那么就会出现一个状况，即第9个micro_batch第二大块需要forward时，需要等待(pp_degree-3)个时钟周期，即造成3个(pp_degree-3)个bubble，如下图所示，每个设备的bubble数从6变为11。
排列1：（论文方法排列）：
因此我探究了另外一种排列方式，即将多出来的，即不为整数倍，剩余出来的micro_batch紧跟着最后一轮的micro_batch执行（这里轮数只转换轮数，即以pp_degree为一轮转换），则仍然探究到一种排列如下图所示，非常规整的对称结构，并且bubble与均匀vpp保持一致。
排列2：（非论文排列方法）：
4.2 第二种情况：
这里我们选择num_stages为4，而accumulate_steps为5，hidden_layer为8，vpp_degree（num_model_chunks）为2进行分析，我们不再做其它分析，因为我已经经过多种情况的验算过，Step的分析和设备编排各forward编号的分析，此处仅仅分析非均匀vpp的优化是否具有普遍现象：
排列1：（论文方法排列）：
排列2：（本文优化方法排列）：
可以看到，仍然保持非常高度的对称结构，并且保持着一些1F1B结构，但注意，现在的优化方法，不一定再适应之前分析的式子，需要后续进行改进，并且和原方法相比，可能会增加设备的峰值显存（该问题可用重计算解决）。